● Ключевые темы лекции

• Кинематика как раздел ТМ: предмет, задачи, отличие от статики.
• Три способа задания движения точки: векторный, координатный, естественный.
• Скорость и ускорение точки: определение, вычисление, физический смысл.
• Естественный способ: касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны.
• Вращательное движение твердого тела: угол поворота, угловая скорость (ω), угловое ускорение (ε).
• Скорость и ускорение точки вращающегося тела: формулы v = ω·R, a_τ = ε·R, a_n = ω²·R.
• Передаточные отношения: ременные и зубчатые передачи, условие нерастяжимости ремня ω₁·R₁ = ω₂·R₂.

Материалы для самостоятельной работы (СРС)

• Вывести формулы скорости и ускорения при естественном способе задания движения.
• Разобрать классификацию движений точки (равномерное, равнопеременное).
• Изучить примеры решения задач на вращательное движение (шкивы, маховики).
• Разобрать вывод формулы передаточного отношения для зубчатого зацепления через число зубьев.
• Подготовка к РГР №2 (К-6): Потренироваться в задачах на связь линейных и угловых скоростей в ременных передачах.

● Ключевые темы лекции

• Плоскопараллельное движение (ППД): определение, примеры, уравнение движения.
• Разложение ППД: поступательное движение с полюсом + вращательное вокруг полюса.
• Теорема о сложении скоростей при ППД: v_B = v_A + v_BA.
• Мгновенный центр скоростей (МЦС): определение, существование, геометрический смысл.
• Методы нахождения МЦС:
  • по двум известным скоростям (пересечение перпендикуляров);
  • при качении без проскальзывания (точка контакта);
  • по известной скорости одной точки и угловой скорости.
• Определение скоростей точек через МЦС: v = ω·(расстояние до МЦС).
• Теорема о сложении ускорений (обзорно, для общего развития).

Материалы для СРС

• Доказать теорему о сложении скоростей при ППД.
• Разобрать доказательство существования МЦС.
• Рассмотреть особые случаи (МЦС в бесконечности — мгновенно-поступательное движение).
• Изучить понятие мгновенного центра ускорений (МЦУ) — факультативно.
• Решить 2-3 задачи на нахождение МЦС в разных конфигурациях механизмов.
• Подготовка к РГР №3 (К-7): Освоить метод кинематического анализа плоских механизмов через МЦС.

● Ключевые темы лекции

• Кинематический анализ многозвенного механизма: применение метода МЦС для определения скоростей всех точек.
• Пример разбора: типовой механизм из РГР К-7.
• Понятие сложного движения точки:
  • абсолютное движение (относительно неподвижной системы);
  • относительное движение (относительно подвижной системы);
  • переносное движение (движение подвижной системы).
• Теорема о сложении скоростей для сложного движения: v_a = v_e + v_r.
• Определение переносной скорости как скорости точки тела, с которым связана подвижная система.
• Введение в ускорение Кориолиса (качественно, без детального вывода).

Материалы для СРС

• Полностью разобрать решение задачи из РГР К-7 (определение скоростей всех точек механизма).
• Изучить теорему о сложении ускорений для сложного движения (полная формулировка).
• Разобрать правило Жуковского для определения направления ускорения Кориолиса.
• Рассмотреть примеры, когда ускорение Кориолиса равно нулю.
• Потренироваться в задачах на сложное движение точки (движение по вращающемуся телу).

● Ключевые темы

• Предмет динамики: движение в связи с силами. Абсолютное пространство и время (допущения Галилея–Ньютона)
• Закон инерции (I закон Ньютона) и инерциальные системы отсчета
• Основное уравнение динамики: связь силы, массы и ускорения
• Закон равенства действия и противодействия, закон независимости действия сил
• Дифференциальные уравнения движения материальной точки (векторная, координатная и естественная формы)
• Прямая задача динамики: определение сил по заданному движению (дифференцирование)
• Обратная задача динамики: определение движения по заданным силам (интегрирование, начальные условия)
• Интегрирование дифференциальных уравнений: понижение порядка, разделение переменных, замена переменных

Практические примеры (без формул)

• Движение кабины лифта: натяжение троса при подъёме с ускорением, обрыв троса
• Точка на горизонтальной плоскости: движение по эллипсу под действием центральной силы
• Конический маятник: движение груза по окружности, определение натяжения и скорости
• Автомобиль на выпуклом мосту: давление на мост, условие отрыва
• Свободное движение под действием постоянной силы (равнопеременное движение)
• Сила, зависящая от времени: разгон тела по гладкой поверхности
• Сила, зависящая от координаты: движение в поле тяготения Земли (вторая космическая скорость)
• Сила сопротивления, пропорциональная скорости: движение судна, время уменьшения скорости вдвое и путь до остановки

● Теоретические разделы

• Абсолютное, относительное и переносное движение точки. Теорема сложения ускорений (Кориолис)
• Переносная и кориолисова силы инерции: основное уравнение относительного движения
• Частные случаи переносного движения (вращение, поступательное криволинейное и прямолинейное)
• Влияние вращения Земли на равновесие тел: центробежная сила инерции, отклонение силы тяжести
• Механическая система. Классификация сил: внешние и внутренние, свойства внутренних сил
• Центр масс системы материальных точек (общее определение, координаты)
• Теорема о движении центра масс: произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному вектору внешних сил
• Законы сохранения движения центра масс (постоянство скорости или положения центра масс)
• Количество движения системы. Теорема об изменении количества движения (импульс силы)
• Законы сохранения количества движения (замкнутые системы, проекции на оси)

Примеры и приложения

• Вращение Земли: оценка центробежной силы и угла отклонения отвеса (малость эффекта)
• Перемещение лодки при переходе человека с кормы на нос (закон сохранения положения центра масс)
• Реактивное движение как иллюстрация закона сохранения количества движения
• Импульс силы и его вычисление для постоянных и переменных сил

РГР №5: Теорема о движении центра масс системы — задачи на определение перемещения механических систем при внутренних перемещениях.

● Энергия и колебания

• Импульс силы (постоянной и переменной). Элементарная и полная работа силы на перемещении
• Работа силы тяжести, работа упругой силы, работа силы, приложенной к вращающемуся телу
• Мощность силы: быстрота совершения работы (скалярное произведение силы на скорость)
• Кинетическая энергия материальной точки и системы. Кинетическая энергия твёрдого тела (поступательное, вращательное, плоское движение)
• Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки
• Свободные колебания: восстанавливающая сила (линейная упругость), уравнение гармонических колебаний, амплитуда, период, фаза
• Затухающие колебания (сопротивление среды). Логарифмический декремент. Апериодическое движение
• Вынужденные колебания: возмущающая сила, явление резонанса (p = k). Коэффициент динамичности

РГР №6. Основные теоремы динамики точки

• Участок AB (криволинейный, дуга окружности, трение): работа силы тяжести и силы трения. Определение скорости в точке B (V_b = 23.048 м/с)
• Участок BC (прямолинейный, переменная сила F(t) под углом): разгон шайбы, учёт работы силы и силы тяжести. Определение скорости в точке C (V_c = 43.543 м/с)
• Участок CD (свободный полёт в поле тяжести): параметры движения, дальность полёта b = 11.617 м
• Применение теоремы об изменении кинетической энергии на каждом участке с учётом начальных условий

Вариант параметров: r = 3 м, m = 0.4 кг, a = 7 м, t₁ = 4 с, F = 0.3e^t/2+t², F_тр = 6 Н, α=75°, β=60°, γ=30°, V_a=26 м/с.

● Аналитические методы и принцип Даламбера

• Потенциальное силовое поле: силовая функция U(x,y,z), связь с проекциями силы. Работа не зависит от траектории
• Потенциальная энергия: определение, связь с силовой функцией, эквипотенциальные поверхности
• Примеры потенциальных полей: поле силы тяжести, поле упругости (пружина), поле центральной силы притяжения
• Дифференциальные уравнения поступательного и вращательного движения твёрдого тела. Физический маятник, приведённая длина
• Динамика плоского движения твёрдого тела: уравнения движения центра масс и вращения вокруг центра масс
• Принцип Даламбера (метод кинетостатики): условное введение сил инерции для сведения задачи динамики к равновесию
• Приведение сил инерции твёрдого тела: главный вектор и главный момент сил инерции (поступательное и вращательное движение)
• Балансировка вращающихся тел: динамические реакции подшипников, условие отсутствия дополнительных динамических нагрузок
• Моменты инерции: осевые, центробежные. Теорема Гюйгенса–Штейнера. Примеры (стержень, цилиндр, тонкое кольцо)
• Кинетический момент вращающегося тела: K_z = I_z·ω

Прикладные задачи

• Определение угла отклонения стержня, вращающегося вокруг вертикальной оси (относительное равновесие, центр качаний)
• Динамические реакции подшипников при вращении несбалансированного ротора. Условия полной балансировки (обнуление центробежных моментов инерции)
• Вычисление моментов инерции однородных тел (стержень, диск, цилиндр) для использования в уравнениях вращательного движения
• Закон сохранения механической энергии при движении в стационарном потенциальном поле

Ключевой вывод: принцип Даламбера позволяет применять методы статики для решения динамических задач, что особенно удобно при определении реакций связей в ускоренно движущихся системах.

● Теоретическое содержание

• Определение аналитической механики: единые аналитические методы для сложных систем.
• Классификация связей: голономные / неголономные, склерономные / реономные, удерживающие / освобождающие.
• Обобщённые координаты: независимые параметры (линейные, угловые), число степеней свободы.
• Возможные перемещения: бесконечно малые перемещения, допускаемые связями (вариации координат).
• Действительные и возможные перемещения: различие и связь через обобщённые координаты.
• Идеальные связи: сумма работ реакций на любом возможном перемещении равна нулю (гладкие поверхности, качение без скольжения).
• Принцип возможных перемещений (статический вариант): условие равновесия системы с идеальными связями — нулевая сумма работ активных сил на любом возможном перемещении.
• Применение принципа для определения реакций связей (отбрасывание связей, введение реакций как активных сил).

Примеры и приёмы

• Вычисление возможных перемещений геометрическим и аналитическим способами (вариации координат).
• Определение реакции балки в опоре методом возможных перемещений (отбрасывание опоры, задание малого поворота).
• Нахождение опорного момента в многопролётной составной балке — эпюра перемещений аналогична линии влияния.

📐 Ключевая идея: принцип возможных перемещений превращает задачу статики в кинематическую — достаточно вычислить элементарную работу активных сил на возможном перемещении.

● От статики к динамике

• Общее уравнение динамики (принцип Даламбера–Лагранжа): сумма работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении равна нулю.
• Обобщённые силы: скалярная величина, равная отношению элементарной работы заданных сил к приращению обобщённой координаты.
• Формулы вычисления обобщённых сил: векторная и координатная форма, через частные производные от координат точек.
• Выражение обобщённой силы через потенциальную энергию (для консервативных систем).
• Уравнения равновесия в обобщённых силах: Q_j = 0 для всех независимых координат.
• Вывод уравнений Лагранжа II рода из общего уравнения динамики (преобразование слагаемых с силами инерции через кинетическую энергию).

Практические иллюстрации

• Расчёт обобщённых сил для системы блоков с тремя грузами (две степени свободы).
• Центробежный регулятор: учет силы упругости пружины, центробежных сил инерции, составление уравнения Лагранжа.
• Пример с подвижными блоками: определение ускорений грузов через уравнения Лагранжа (энергетический подход).
• Функция Лагранжа L = T – Π, кинетический потенциал и уравнения Лагранжа для консервативных систем.

📊 Уравнения Лагранжа позволяют получить дифференциальные уравнения движения системы, избегая вычисления реакций связей.

● Интегральные принципы и динамика упругих систем

• Вариационный принцип Гамильтона–Остроградского: интеграл суммы вариаций работы и кинетической энергии на интервале времени равен нулю при нулевых вариациях на концах.
• Действие по Гамильтону S = ∫L dt, стационарность действия для действительного движения.
• Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона–Остроградского (интегрирование по частям, независимость вариаций).
• Прямая и обратная форма уравнений малых колебаний механических систем.
• Матрица масс, матрица жесткости, матрица податливости. Симметричность.
• Собственные частоты и собственные формы: решение векового уравнения |[C] – ω²[M]| = 0.
• Ортогональность собственных форм, преобразование к главным координатам (диагонализация матриц).

Примеры дискретизации массы

• Балка с одной сосредоточенной массой: расчёт низшей частоты с помощью интеграла Мора (правило Верещагина).
• Схемы с одной, двумя и тремя точечными массами, влияние распределения массы на точность определения собственных частот.
• Ошибка аппроксимации: сравнение точного решения и приближённых схем (сосредоточение массы в центре или по длине).
• Свободные колебания с учётом вязкого сопротивления: матрица демпфирования, общий вид уравнений.
• Физический смысл главных координат — независимые гармонические осцилляторы.

● Основы ударных процессов

• Удар — явление, при котором за малый промежуток времени скорости точек изменяются на конечную величину; ударные силы.
• Основное уравнение удара: изменение количества движения равно импульсу ударной силы: m(u – v) = S.
• Коэффициент восстановления k: отношение модуля относительной скорости после удара к относительной скорости до удара (0 ≤ k ≤ 1).
• Абсолютно неупругий (k=0) и абсолютно упругий удар (k=1). Зависимость от материала, примеры (сталь, дерево, стекло).
• Прямой центральный удар двух тел: скорости после удара, импульсы, частный случай равенства масс и упругого удара.
• Косой удар о неподвижную поверхность: угол падения и отражения, связь через коэффициент восстановления (угол отражения больше угла падения).
• Гидравлический удар в трубах: формула Жуковского для повышения давления Δp = ρ c v₀.

Инженерные приложения

• Определение скорости шара после удара о преграду: u = v √(sin²α + k² cos²α).
• Расчёт ударного импульса при косом ударе, влияние угла падения на величину силы (эффект «блинчика»).
• Скорость распространения ударной волны в жидкости и в трубе с учётом деформации стенок (модуль упругости материала).
• Практические меры снижения гидравлического удара (аккумуляторы, медленное закрытие задвижек).

⚠️ Во время удара пренебрегают неударными силами (силой тяжести, упругостью пружин) ввиду их малости по сравнению с ударными импульсами. Теорема об изменении кинетической энергии в классической теории удара не используется.