Формализация задачи раскроя

Задача раскроя представляет собой классическую проблему оптимизации, широко применяемую в промышленности и производстве.

Постановка задачи:

Имеются листы материала фиксированных размеров L, и необходимо нарезать из них изделия различных форматов таким образом, чтобы минимизировать потери и увеличить полезную площадь.

Исходные данные представлены таблицей:

Изделие	Ширина (wj)	Длина (ij)	Количество (dj)
A1	w1	l1	1
A2	w2	l2	2
***	***	***	***
An	wn	ln	dn

Нашей целью является определение оптимального способа размещения изделий на листах, минимизируя общие затраты материалов.

где:

• y_i — булева переменная, показывающая использование i-го листа;
• X_ji— количество изделий j-го типа, размещаемых на i-м листе.

Ограничения задачи:

1. Количество изготовленных изделий должно покрывать заказ:
   $$\sum_{i=1}^I X_{ji} \geq d_j,\quad\forall j=1,\dots,N$$
2. Площадь каждой пластины не превышает допустимую ширину и длину листа:
   $$\sum_{j=1}^N w_j l_j X_{ji}\leq mk,\quad\forall i=1,\dots,I$$
3. Логические зависимости между занятостью листа и наличием материала:
   $$X_{ji}\leq My_i,\quad\forall j,i$$

где M — достаточно большое число, гарантирующее соблюдение ограничений.

Данная задача считается сложной (NP-трудной), однако для простых случаев применимы методы жадных алгоритмов и эвристического подхода.

Решение задачи оптимального раскроя

1. Расчёт общей площади деталей

На 1 комплект:

Деталь	Размеры (мм)	Площадь (мм²)
Столешница	750×1200	900000
Стенка шкафа	2000×500	1000000
Ножки стола (4 шт.)	600×60	144000
Задняя стенка	2000×1220	2440000
Итого на 1 комплект:		4484000
На 10 комплектов:		44840000

2. Определение минимальных потребностей в листах

ЛДСП (2800 × 2070): общая площадь — 5796000 мм²;

Площадь деталей из ЛДСП: 900000 + 1000000 + 144000 = 2044000 мм².

Минимальное число листов: 2044000 / 5796000 ≈ 3,53 → минимум 4 листа.

ДСП (2750 × 1830): общая площадь — 5032500 мм²;

Минимальное число листов: 2440000 × 10 / 5032500 ≈ 4,85 → минимум 5 листов (но с учётом размещения — 10 листов).

3. Оптимальная раскладка деталей — выбираем жадным алгоритмом, заполняя лист от большей площади к меньшей

ЛДСП (4 листа):

• Лист 1:
  • Столешницы: 2 шт., горизонтально
  • Стенки шкафа: 2 шт., вертикально
  • Ножки: 6 шт.
• Лист 2:
  • Аналогично листу 1
• Лист 3:
  • Столешницы: 3 шт.
  • Стенки шкафа: 3 шт.
  • Ножки: 8 шт.
• Лист 4:
  • Столешницы: 3 шт.
  • Стенки шкафа: 3 шт.
  • Ножки: 20 шт. (остаток)

ДСП (10 листов):

Один лист: 1 задняя стенка (2000 × 1220), размещённая горизонтально. Из‑за габаритов на одном листе помещается только одна деталь. Итого требуется 10 листов ДСП.

4. Итоговый план раскроя

Считаем коэффициент использования материала (КИМ) как отношение площади всех деталей к площади использованных листов, умноженное на 100%.

ЛДСП: 4 листа, КИМ — 88,2%

ДСП: 10 листов, КИМ — 48,5%

Общее количество листов: 14 шт.

Средний КИМ: 61,0%

Заключение

Использование предложенных методов раскроя учитывает большинство реальных факторов для такого типа задач. Рекомендовано применение специализированных программ («БАЗИС-Раскрой») для дальнейшей автоматизации и оптимизации процесса.

Данные для проектирования и планируемый объём выпуска

Тип элемента	Высота (мм)	Ширина (мм)	Толщина (мм)
Столешница	750	1200	16
Стенка шкафа	2000	500	16
Ножки стола	600	60	16
Задняя стенка	2000	1220	3

Планируемый объем выпуска: 10 комплектов мебели в неделю.