● Ключевые темы лекции

• Кинематика как раздел ТМ: предмет, задачи, отличие от статики.
• Три способа задания движения точки: векторный, координатный, естественный.
• Скорость и ускорение точки: определение, вычисление, физический смысл.
• Естественный способ: касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны.
• Вращательное движение твердого тела: угол поворота, угловая скорость (ω), угловое ускорение (ε).
• Скорость и ускорение точки вращающегося тела: формулы v = ω·R, a_τ = ε·R, a_n = ω²·R.
• Передаточные отношения: ременные и зубчатые передачи, условие нерастяжимости ремня ω₁·R₁ = ω₂·R₂.

Материалы для самостоятельной работы (СРС)

• Вывести формулы скорости и ускорения при естественном способе задания движения.
• Разобрать классификацию движений точки (равномерное, равнопеременное).
• Изучить примеры решения задач на вращательное движение (шкивы, маховики).
• Разобрать вывод формулы передаточного отношения для зубчатого зацепления через число зубьев.
• Подготовка к РГР №2 (К-6): Потренироваться в задачах на связь линейных и угловых скоростей в ременных передачах.

● Ключевые темы лекции

• Плоскопараллельное движение (ППД): определение, примеры, уравнение движения.
• Разложение ППД: поступательное движение с полюсом + вращательное вокруг полюса.
• Теорема о сложении скоростей при ППД: v_B = v_A + v_BA.
• Мгновенный центр скоростей (МЦС): определение, существование, геометрический смысл.
• Методы нахождения МЦС:
  • по двум известным скоростям (пересечение перпендикуляров);
  • при качении без проскальзывания (точка контакта);
  • по известной скорости одной точки и угловой скорости.
• Определение скоростей точек через МЦС: v = ω·(расстояние до МЦС).
• Теорема о сложении ускорений (обзорно, для общего развития).

Материалы для СРС

• Доказать теорему о сложении скоростей при ППД.
• Разобрать доказательство существования МЦС.
• Рассмотреть особые случаи (МЦС в бесконечности — мгновенно-поступательное движение).
• Изучить понятие мгновенного центра ускорений (МЦУ) — факультативно.
• Решить 2-3 задачи на нахождение МЦС в разных конфигурациях механизмов.
• Подготовка к РГР №3 (К-7): Освоить метод кинематического анализа плоских механизмов через МЦС.

● Ключевые темы лекции

• Кинематический анализ многозвенного механизма: применение метода МЦС для определения скоростей всех точек.
• Пример разбора: типовой механизм из РГР К-7.
• Понятие сложного движения точки:
  • абсолютное движение (относительно неподвижной системы);
  • относительное движение (относительно подвижной системы);
  • переносное движение (движение подвижной системы).
• Теорема о сложении скоростей для сложного движения: v_a = v_e + v_r.
• Определение переносной скорости как скорости точки тела, с которым связана подвижная система.
• Введение в ускорение Кориолиса (качественно, без детального вывода).

Материалы для СРС

• Полностью разобрать решение задачи из РГР К-7 (определение скоростей всех точек механизма).
• Изучить теорему о сложении ускорений для сложного движения (полная формулировка).
• Разобрать правило Жуковского для определения направления ускорения Кориолиса.
• Рассмотреть примеры, когда ускорение Кориолиса равно нулю.
• Потренироваться в задачах на сложное движение точки (движение по вращающемуся телу).

● Ключевые темы (без формул)

• Предмет динамики: изучение движения в связи с действующими силами. Абсолютное пространство и абсолютное время (допущения классической механики).
• Закон инерции (первый закон Ньютона). Понятие инерциальной системы отсчета и инертности материальной точки.
• Основное уравнение динамики: связь между силой, массой и ускорением. Закон независимости действия сил.
• Третий закон Ньютона: равенство действия и противодействия, приложенных к разным телам.
• Дифференциальные уравнения движения материальной точки: векторная форма, координатная форма (проекции на оси декартовой системы), естественные уравнения (проекции на оси касательной, нормали и бинормали).
• Прямая задача динамики: определение сил по заданному закону движения (операции дифференцирования).
• Обратная задача динамики: определение закона движения по заданным силам. Роль начальных условий (начальные координаты и начальная скорость).
• Классификация сил, действующих на точку: постоянные, зависящие от времени, от координат, от скорости.

Практические примеры (без формул)

• Движение кабины лифта: натяжение троса при подъеме с ускорением, обрыв троса и свободное падение.
• Точка, движущаяся по эллипсу на горизонтальной плоскости: определение силы, пропорциональной расстоянию до центра.
• Конический маятник: движение груза по окружности, определение натяжения троса и скорости через угол отклонения.
• Автомобиль на выпуклом мосту: давление на мост, условие отрыва (невесомость).
• Свободное движение под действием постоянной силы: равнопеременное движение, уравнение пути.
• Сила, зависящая от времени: разгон тела по гладкой поверхности, определение пройденного пути.
• Сила, зависящая от координаты: движение в поле тяготения Земли с учетом обратной квадратичной зависимости, вывод второй космической скорости.
• Сила сопротивления, пропорциональная скорости: движение судна, время уменьшения скорости вдвое и конечный путь до остановки.

● Теоретические разделы

• Абсолютное, относительное и переносное движение материальной точки. Сложное движение.
• Теорема сложения ускорений (ускорение Кориолиса). Переносная и кориолисова силы инерции.
• Основное уравнение относительного движения: добавление переносной и кориолисовой сил инерции к реальным силам.
• Частные случаи переносного движения: поступательное, вращательное равномерное, вращательное с переменной угловой скоростью.
• Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел (отклонение падающих тел к востоку).
• Механическая система: совокупность материальных точек. Классификация сил: внешние и внутренние. Свойства внутренних сил (главный вектор и главный момент равны нулю).
• Центр масс системы материальных точек: определение радиус-вектора и координат.
• Теорема о движении центра масс: произведение массы системы на ускорение центра масс равно главному вектору внешних сил.
• Законы сохранения движения центра масс (постоянство скорости или положения центра масс).
• Количество движения системы материальных точек. Теорема об изменении количества движения (импульс силы). Закон сохранения количества движения.

Примеры и приложения

• Оценка центробежной силы инерции из-за суточного вращения Земли и ее влияние на величину ускорения свободного падения.
• Перемещение лодки при переходе человека с кормы на нос: иллюстрация закона сохранения положения центра масс.
• Реактивное движение как пример закона сохранения количества движения (ракета, движение в безвоздушном пространстве).
• Определение перемещения лодки при относительном перемещении груза внутри системы.

● Энергия и колебания (без формул)

• Импульс постоянной и переменной силы. Элементарная работа силы на малом перемещении.
• Работа силы тяжести, работа силы упругости (линейной восстанавливающей силы). Работа силы, приложенной к вращающемуся телу.
• Мощность силы: скалярная величина, характеризующая быстроту совершения работы.
• Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном, вращательном и плоском движении.
• Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки: изменение кинетической энергии равно работе всех действующих сил.
• Свободные колебания: восстанавливающая сила, уравнение гармонических колебаний, амплитуда, период, частота, начальная фаза.
• Затухающие колебания (вязкое сопротивление, пропорциональное скорости). Логарифмический декремент затухания. Апериодическое движение (большое сопротивление).
• Вынужденные колебания: действие периодической возмущающей силы. Явление резонанса (совпадение частоты возмущающей силы с частотой собственных колебаний). Коэффициент динамичности.

РГР №4. Основные теоремы динамики точки

• Участок AB (криволинейный, дуга окружности, трение): работа силы тяжести и силы трения. Определение скорости в точке B.
• Участок BC (прямолинейный, переменная сила F(t) под углом): разгон шайбы, учёт работы силы и силы тяжести. Определение скорости в точке C.
• Участок CD (свободный полёт в поле тяжести): параметры движения, дальность полёта.
• Применение теоремы об изменении кинетической энергии на каждом участке с учётом начальных условий.

Вариант параметров: r = 3 м, m = 0.4 кг, a = 7 м, t₁ = 4 с, F = 0.3e^t/2+t², F_тр = 6 Н, α=75°, β=60°, γ=30°, V_a=26 м/с. Результаты: V_b = 23.048 м/с, V_c = 43.543 м/с, дальность b = 11.617 м.

● Аналитические методы и кинетостатика (без формул)

• Потенциальное силовое поле: определение силовой функции U(x,y,z). Связь проекций силы с частными производными от силовой функции.
• Свойства потенциального поля: работа не зависит от траектории, работа по замкнутому контуру равна нулю.
• Потенциальная энергия: определение, связь с силовой функцией, эквипотенциальные поверхности.
• Примеры потенциальных полей: однородное поле силы тяжести, поле центральной силы тяготения, поле силы упругости.
• Закон сохранения механической энергии в стационарном потенциальном поле.
• Моменты инерции твердого тела: осевые, центробежные, полярный момент. Теорема Гюйгенса–Штейнера (о моментах инерции относительно параллельных осей).
• Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения.
• Дифференциальные уравнения поступательного и вращательного движений твердого тела. Физический маятник.
• Принцип Даламбера (метод кинетостатики): условное введение сил инерции для сведения задачи динамики к равновесию.
• Приведение сил инерции твердого тела: главный вектор и главный момент сил инерции (поступательное и вращательное движение).
• Динамические реакции подшипников при вращении несбалансированного ротора. Условия полной балансировки (обнуление центробежных моментов инерции, совпадение оси вращения с главной центральной осью инерции).

Прикладные задачи

• Определение угла отклонения стержня, вращающегося вокруг вертикальной оси (относительное равновесие, понятие центра качаний).
• Вычисление моментов инерции однородных тел: тонкого стержня, сплошного диска, тонкостенного цилиндра, прямоугольной пластины.
• Расчет динамических реакций в подшипниках при вращении ротора с заданной угловой скоростью и угловым ускорением.
• Статическая и динамическая балансировка вращающихся деталей машин (устранение вибраций).

Ключевой вывод: принцип Даламбера позволяет применять методы статики для решения динамических задач, что особенно удобно при определении реакций связей в ускоренно движущихся системах.

● Теоретическое содержание

• Определение аналитической механики: единые аналитические методы для сложных систем.
• Классификация связей: голономные / неголономные, склерономные / реономные, удерживающие / освобождающие.
• Обобщённые координаты: независимые параметры (линейные, угловые), число степеней свободы.
• Возможные перемещения: бесконечно малые перемещения, допускаемые связями (вариации координат).
• Действительные и возможные перемещения: различие и связь через обобщённые координаты.
• Идеальные связи: сумма работ реакций на любом возможном перемещении равна нулю (гладкие поверхности, качение без скольжения).
• Принцип возможных перемещений (статический вариант): условие равновесия системы с идеальными связями — нулевая сумма работ активных сил на любом возможном перемещении.
• Применение принципа для определения реакций связей (отбрасывание связей, введение реакций как активных сил).

Примеры и приёмы

• Вычисление возможных перемещений геометрическим и аналитическим способами (вариации координат).
• Определение реакции балки в опоре методом возможных перемещений (отбрасывание опоры, задание малого поворота).
• Нахождение опорного момента в многопролётной составной балке — эпюра перемещений аналогична линии влияния.

📐 Ключевая идея: принцип возможных перемещений превращает задачу статики в кинематическую — достаточно вычислить элементарную работу активных сил на возможном перемещении.

● От статики к динамике

• Общее уравнение динамики (принцип Даламбера–Лагранжа): сумма работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении равна нулю.
• Обобщённые силы: скалярная величина, равная отношению элементарной работы заданных сил к приращению обобщённой координаты.
• Формулы вычисления обобщённых сил: векторная и координатная форма, через частные производные от координат точек.
• Выражение обобщённой силы через потенциальную энергию (для консервативных систем).
• Уравнения равновесия в обобщённых силах: Q_j = 0 для всех независимых координат.
• Вывод уравнений Лагранжа II рода из общего уравнения динамики (преобразование слагаемых с силами инерции через кинетическую энергию).

Практические иллюстрации

• Расчёт обобщённых сил для системы блоков с тремя грузами (две степени свободы).
• Центробежный регулятор: учет силы упругости пружины, центробежных сил инерции, составление уравнения Лагранжа.
• Пример с подвижными блоками: определение ускорений грузов через уравнения Лагранжа (энергетический подход).
• Функция Лагранжа L = T – Π, кинетический потенциал и уравнения Лагранжа для консервативных систем.

📊 Уравнения Лагранжа позволяют получить дифференциальные уравнения движения системы, избегая вычисления реакций связей.

● Интегральные принципы и динамика упругих систем

• Вариационный принцип Гамильтона–Остроградского: интеграл суммы вариаций работы и кинетической энергии на интервале времени равен нулю при нулевых вариациях на концах.
• Действие по Гамильтону S = ∫L dt, стационарность действия для действительного движения.
• Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона–Остроградского (интегрирование по частям, независимость вариаций).
• Прямая и обратная форма уравнений малых колебаний механических систем.
• Матрица масс, матрица жесткости, матрица податливости. Симметричность.
• Собственные частоты и собственные формы: решение векового уравнения |[C] – ω²[M]| = 0.
• Ортогональность собственных форм, преобразование к главным координатам (диагонализация матриц).

Примеры дискретизации массы

• Балка с одной сосредоточенной массой: расчёт низшей частоты с помощью интеграла Мора (правило Верещагина).
• Схемы с одной, двумя и тремя точечными массами, влияние распределения массы на точность определения собственных частот.
• Ошибка аппроксимации: сравнение точного решения и приближённых схем (сосредоточение массы в центре или по длине).
• Свободные колебания с учётом вязкого сопротивления: матрица демпфирования, общий вид уравнений.
• Физический смысл главных координат — независимые гармонические осцилляторы.

● Основы ударных процессов

• Удар — явление, при котором за малый промежуток времени скорости точек изменяются на конечную величину; ударные силы.
• Основное уравнение удара: изменение количества движения равно импульсу ударной силы: m(u – v) = S.
• Коэффициент восстановления k: отношение модуля относительной скорости после удара к относительной скорости до удара (0 ≤ k ≤ 1).
• Абсолютно неупругий (k=0) и абсолютно упругий удар (k=1). Зависимость от материала, примеры (сталь, дерево, стекло).
• Прямой центральный удар двух тел: скорости после удара, импульсы, частный случай равенства масс и упругого удара.
• Косой удар о неподвижную поверхность: угол падения и отражения, связь через коэффициент восстановления (угол отражения больше угла падения).
• Гидравлический удар в трубах: формула Жуковского для повышения давления Δp = ρ c v₀.

Инженерные приложения

• Определение скорости шара после удара о преграду: u = v √(sin²α + k² cos²α).
• Расчёт ударного импульса при косом ударе, влияние угла падения на величину силы (эффект «блинчика»).
• Скорость распространения ударной волны в жидкости и в трубе с учётом деформации стенок (модуль упругости материала).
• Практические меры снижения гидравлического удара (аккумуляторы, медленное закрытие задвижек).

⚠️ Во время удара пренебрегают неударными силами (силой тяжести, упругостью пружин) ввиду их малости по сравнению с ударными импульсами. Теорема об изменении кинетической энергии в классической теории удара не используется.